Rruga e Eulerit
Në teorinë e grafeve, një rrugë e Eulerit në një graf është rruga e cila secilën nyje të grafit e viziton vetëm një herë. Cikël i Eulerit është rruga e 
Eulerit e cila mbaron në të njëjtën nyje prej ku ka filluar. Këtë lloj grafesh e studioj Leonhard Euler kur e zgjidhi problemin e famshëm të shtatë urave të Königsbergut në vitin 1736. Matematikisht problemi i shtatë urave formulohet si më poshtë:
- Është dhënë grafi në të djathtë, A është e mundur të konstruktohet rrugë ose cikël e cila fillon dhe mbaron në të njejtën nyje dhe secilën prej nyjeve tjera e viziton vetëm një herë?
Euleri vërejti se kusht i nevojshëm që një graf të ketë rrugë ose cikël të Eulerit është që ç'do nyje e tij të jetë e shkallës çift me fjalë tjera nga ç'do nyje del një numër çift degësh; Kjo do të thotë se grafi i Königsbergut nuk është Eulerian.
Leonhard Paul Euler, (prononcimi në shqip: Leonard Paul Ojler), (15 Prill, 1707 Basel, Zvicër – 7 shtator, 1783 Saint Petersburg, Rusi), ishte matematikan dhe fizikan zviceran i cili kaloi pjesën më të madhe të jetës së tij në Rusi dhe Gjermani.
Euler bëri zbulime të rëndësishme në fusha të ndryshme si Njehsimi diferencial dhe teoria e grafeve. Ai gjithashtu për herë të parë paraqiti pjesën më të madhe të terminologjisë dhe nocioneve moderne matematike, pjesërisht për analizën matematike, sikur është nocioni i funksionit matematik.[1] Gjithashtu është i njohur për punën e tij në mekanikë, optikë dhe astronomi.
Euler konsiderohet të jetë matematikani më i madh i shekullit të XVIII dhe një ndër më të mëdhenjtë i të gjitha kohërave. Gjithashtu është më frytdhënësi, përmbledhja e punimeve të e tij përfshinë 60–80 vëllime faqe çerekësh. Deklarata e dhënë nga Pierre-Simon Laplace shpreh influencën që pati Euler në matematikë, ai thotë: "Lexojeni Eulerin, lexojeni Eulerin, ai është mësuesi i të gjithë neve."
Figura e tij u paraqit në gjashtë seri të bankënotës prej 10 Franga zvicerane si dhe në një numër të madh të pullave postare zvicerane, gjermane e ruse. Asteroidi 2002 Euler u emërua për nder të tij.
Jeta e Eulerit
Vitet e hershme
Euleri lindi në Basel i ati Paul Euler, ishte pastor, e ëma Marguerite Brucker, një bijë pastori. Ai kishte dy motra më të vogla Anna Maria dhe Maria Magdalena. Menjëherë pas lindjes së tij familja u transferua nga Baseli në Riehen, ku Euleri e kaloi pjesën më të madhe të fëmijërisë. Paul Euleri ishte mik i Johann Bernoullit i cili ishte ndër matematikanët më të shquar të asaj kohe në Evropë, ai ndikoi fuqishëm te Leonardi i ri. Euler me shkollimin formal e filloi në Basel ku shkoi të jetojë me gjyshen e tij për nga nëna. Kur kishte 13 vjet ai përfundoi Universitqtin e Baselit, dhe në vitin 1723, mori titullin M.Phil me disertacionin në të cilin shpreh krahasimin në mes filozofisë se Dekartit dhe Njutnit. Asokohe ai çdo të shtune në mbrëmje merrte leksione nga Johann Bernoulli, i cili kishte zbuluar një talent të pabesueshëm për matematikë te nxënësi i tij i ri.[4] Euleri atëherë studjonte për teologji, gjuhë greke, dhe gjuhë çifute sipas dëshirës së të atit për tu bërë pastor, por Bernoulli i tregoi të jatit Paul Eulerit se Leonhardi është i destinuar të bëhet matematikan i madh. Në vitin 1726, Euleri kompletoi punimin e tij të disertacionit për titullin Ph.D. ekuivalenti i sotshëm doktor i shkencave i titulluar De Sono në të cilin bëhet fjalë për shpejtësinë e zërit[5] dhe në vitin 1727, ai merr pjesë në konkursin e Akademisë franceze të shkencave, zgjidhja e Eulerit u vlerësua me çmimin e dytë, vendin e parë e siguroi Pierre Bouguer—i cili sot njihet si "babai i arkitekturës detare". Këtë çmim të akademisë franceze pastaj Euleri gjatë karrierës së tij e fitoi 12 herë për zgjidhjet e tij të mrekullueshme.
Në Saint Petersburg
Gjatë këtyre viteve dy djemtë e Johann Bernoulli't Daniel Bernoulli dhe Nicolaus II Bernoulli, punonin në akademinë ruse të shkencave në Saint Petersburg. Në korrik të 1726, Nicolas vdiq nga appendicitisi pasi kaloi një vit në Rusi, kur Daniel e zuri vendin e vëllaut në katedrën për matematikë/fizikë, vendi i katedrës së së fiziologjisë mbeti i zbrazët dhe duhej të zihej nga miku i tij Euleri. Në nëntor 1726 Euleri me hidhërim e pranoi atë post sepse më parë e kishin refuzuar aplikimin e tijsi profesor i fizikës në univerzitetin e Bazelit.
Euleri mbërriti në kryeqytetin rus të asaj kohe më 17 maj 1727. Ai u pranua në seksionin e medicinës në nëndegën e matematikës dhe vendosi bashkëpunim të ngushtë me Daniel Bernoullin. Euleri e studjoi gjuhën ruse dhe u vendos në St Petersburg. Ai gjeti edhe një punë ndihmëse në Russian Navy.
Akademia e St. Petersburgut u themelua nga Pjetri i Madh, i cili pretendonte të rrisë nivelin e edukimit tdhe të shkencës ruse dhe ta bëjë të afërt me Evropën perëndimore. Për këtë qëllim ai u ofronte kushte atraktive shkencëtarëve të mëdhenj si Euleri. Akademia kishte mjete të mëdha financiare dhe një librari shumë të pasur. Aty favorizohej dhe stimulohej puna shkencore dhe studentët kishin liri të plotë për çështje të shkencës.
Pas vdekjes së Pjetrit Catherine I, vazhdoi me të njejtin zell të ndihmojë punën e Akademisë. Kushtet u përmirësuan pas vdekjes së Pjetrit II dhe Euleri në vitin 1731 u avancua në postin e profesorit të fizikës. Dy vjet më vonë Daniel Bernoulli, e lëshoi postin e profesorit të matematikës të cilin së shpejti e zëvendësoi Euleri.
Më 7 Janar 1734, Euleri u martua me Katharina Gsell (1707–1773), bijë e Georg Gsell, një piktor nga akademia. Çifti i ri bleu një shtëpi pranë lumit Neva. Kishin 13 fëmijë prej të cilëve fëmijërine e mbijetuan vetëm 5.
Shënimet matematike
Analiza matematikore
Euleri është i njohur në analizën matematike për implementimin e serive të pafundme potenciale dhe zbërthimin e funksioneve në seri të tilla. Ai e zbuloi serinë për funksionin eksponencial e
dhe zbërthimin në seri të pafundme të funksionit invers të tangjentit.
Përdorimi i tij i guximshëm (ku sipas standardeve moderne teknikisht jo korrekt) i serive potenciale mundësoi zgjedhjen e problemit të famshëm të Bazelit në vitin 1735:
Euleri filloi zbatimin e funcksioneve eksponenciale dhe logaritmeve në vëertetimet analitike. Ai zbuloi mënyrën e zbërthimit të funksioneve llogaritmike në seri potenciale dhe e dha përkufizimin e logaritmit të numrave real negativ por pastaj edhe të numrave kompleks, në këtë mënyrë e zgjëroi fushën e aplikimit të logaritmeve . Ai poashtu e përkufizoi funksionin eksponencial për numrat kompleks, dhe zbuloi lidhjen e tyre me funksionet trigonometrike. Për ç'do numër real φ, funksioni eksponencial kompleks e plotëson barazimin
Ky barazim njihet si formula e Eulerit. Rast special i formulës së mësipërme është barazimi
i cli njihet si identiteti i Eulerit dhe vlerësohet si formula më e shquar në matematikë sipas Richard Feynman, sepse në të jepet lidhja në mes 5 konstantave të rëndësishme të matematikës 0', 1, e , i dhe π dhe vetëm nga një herë përdoen shenjat e koncepteve të mbledhjes, shumëzimit, fuqizimit, dhe barazimit Në vitin 1988, lexuesit e Mathematical Intelligencer e zgjoddhë atë "the Most Beautiful Mathematical Formula Ever".(Formula më e bukur e matematikës) Në përgjithësi ndër pesë formulat më të bukura matematikore Euleri merr pjesë me tre prej tyre.
Formula De Moivre është rrjedhim i drejtpërdrejtë i formulës së Eulerit.
Teoria e numrave
Interesi i Eulerit në teorinë e numrave mund të gjurmohet në ndikimin e Goldbachut, miku i tij në Akademinë e Shën Petersburgut dhe në veprat e Pierre de Fermat. Euleri zhvilloi disa nga idetë e Fermat, dhe disa nga supozimet e tij i rrëzoi poshtë.
Euleri provoi se shuma e numrave reciprok të thjeshtë është e pafundme. Me këtë, ai zbuloi lidhjen ndërmjet funksionit zeta të Riemannit dhe numrave të thjeshtë.
Euleri provoi identitetin e Njutonit dhe teoremën e vogël Fermat. Ai gjithashtu shpiku funksionin totient φ(n) i cili shpreh numrin e numrave të plotë pozitiv jo më të mëdhenj se numri i plotë n që janë relativisht të thjeshtë me n. Duke përdorur vetitë e këtij funksioni, ai e përgjithësoi Teoremën e vogël Fermat e njohur tani si teorema e Eulerit. Ai ka kontribuar dukshëm në teorinë e numrave të përsosur, e cila i ka inspiruar matematikanët qysh nga koha e Euklidit.